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대안의 비교방법2_내부수익률법

Bffer 2018. 6. 13. 20:39


# 대안의 비교방법 2


▶ 수익률


◇ 수익률(Rate of Return; ROR)의 일반적 의미

- 투자기간에 관계없이 투자로부터 얻은 수익의 비율

예)

Irises, Gogh

구입 : $80000

매각 : 40년 뒤 $53.9M(= $53900000)

수익률은?


$80000를 연리 6%로 은행에 예금하였다면 40년 후 $822857이 되었을 것이다.

연 이자율 6%의 의미는 무엇인가?

돈을 은행에 예금하는 것이 당시 최선의 투자안이었다면 $822857은 기회비용이다.

당시, 6%보다 더 높은 수익을 얻을 수 있는 다른 투자가 있었다면 그 투자를 택하였을 것이다.

따라서 6%는 최저요구수익률(MARR)이다.

또한, 제안된 투자를 채택하고자 한다면 다음의 결정법칙을 만족하여야 한다.

ROR > MARR


◇ 수익률의 두 가지 정의

1. 개념적 정의

① 할부 대출의 미상환 잔액(= 잔여원금)에 대한 이자율

② Return on Invested Capital(RIC)

 : 투자 자금의 미회수 잔액(= 잔여원금)에 대한 이자율

⇒ 내부수익률

2. 수학적 정의

: 현금유입들의 현가와 현금유출들의 현가를 같게하는(≡ 현금흐름들의 순현가를 0으로 만드는) 이자율

⇒ 손익분기이자율(Break-Even Interest Rate;)

 NPW() = 0



▶ 손익분기이자율


◇ 손익분기이자율()의 계산방법

1. 직접해법 : 'NPW(i) = 0' 방정식

① 사업수명동안 현금흐름이 두 번만 발생하는 경우 (Project A)

: 한 번의 초기 투자(-) 이후 한 번의 수입(+) 발생

② 사업수명이 2년인 경우 (Project B)

2. 시행착오법 : 보간법 (Project C)

3. 그래프 방법 : 순현가 그래프 (Project D)


예)

 연도

직접해 

시행 착오

그래프 

 로그방정식

이차방정식 

Project A 

Project B 

Project C 

Project D 

0 

-1000 

-2000 

-75000 

-10000 

 1

0 

1300 

24400 

20000 

2 

0 

1500 

27340 

20000 

3 

0 

 

55760 

-25000 

4 

1500 

 

 

 


◇ 손익분기이자율()의 개수

- 이자율(i) 값의 조건

① 실수 (Real Number)

② -100% ≤ i ＜∞

- 수익률의 수학적 정의인 현금유입들의 현가와 현금유출들의 현가가 같은 방정식은 일반적으로 다항식(Polynomial)으로 표현되며,

   따라서 방정식의 근 중 이자율 값의 조건을 만족하는 의 개수는 1개 이상일 수 있음

- 0보다 큰 실수값을 갖는 의 개수에 대한 두 가지 부호법칙

1. 순현금흐름 부호법칙 : (>0)의 최대 개수에 대한 법칙

(>0)의 개수 ≤ 사업 수명동안의 순현금흐름들의 부호 변환

연도 

순현금흐름 

부호 변환 

0 

-100 

 

1 

-20 

 

2 

50 

1 

3 

0 

 

4 

60 

 

5 

 -30

1 

6 

100 

1 


2. 누적 순현금흐름 부호법칙 : 단 1개의 (>0) 존재에 대한 법칙


 연도

순현금흐름 

누적 

0 

A0 

S0 = A0 

1 

A1 

S1 = S0 + A1 

2

A2 

S2 = S1 + A2 

‥ 

‥ 

‥ 

n

An

Sn = Sn-1 + An

S0 <0 일 때, Si(1≤k≤N)의 부호가 사업수명 만료 시점까지 단 한번 변환 ⇒ 0보다 큰 는 단 1개만 존재

- 수학적 의미

@ ∑_사업수명 현금유입 ＞ ∑_사업수명 현금유출

* 이자율 = 0일 때 NPW > 0

* 단 1개의 (>0) 존재에 대한 필요조건(그러나, 충분조건은 아님)

@ S0 = A0 < 0

: i → ∞ ⇒ NPW는 0을 지나 0년 말 투자금액 A0(<0)에 접근


연도 

Ak 

Sk 

부호 변환 

0

-100 

-100 

 

1 

-20 

-120 

 

2 

50 

-70 

 

3 

0 

-70

 

4 

60 

-10 

 

5 

-30 

-40 

6

100 

60 

1 


S0 = -100 < 0, Sk (1≤k≤N)의 부호 변환 횟수 = 1

⇒ (>0)의 개수 = 1 (⇒ )


◇ 투자 유형에 따른 손익분기이자율()의 개수

1. 단순 투자(Simple Investment)

- 정의 : 사업 수명동안 순현금흐름들의 부호가 사업 초기에는 '-',

     어느 시점 이후부터는 '+'로 되어 부호 변환이 단 한 번 발생하는 투자로서,

     사업 수명동안 발생한 현금유입들의 총액은 현금유출들의 총액보다 커야 함

예) -$100, $250, $300    ( -, +, + )

⇒ 부호 변환 횟수 : 1회

⇒ 현금유입 총액(= $550) > 현금유출 총액(= $100)

⇒ >0 : 단 1개만 존재

- i ↑ ⇒ NPW(i) ↓

2. 비단순투자(Nonsimple Investment)

- 정의 : 순현금흐름들의 부호가 사업 초기에는 '-'이고, 어느 시점 이후부터 순현금흐름들의 부호가 바뀌어

     사업 수명 만료 시점까지 순현금흐름들의 부호 변환이 한 번 이상 발생하는 투자

예) -$100, $250, -$300    ( -, +, - )

⇒ >0 : 한 개 이상일 가능성이 있음


예)

 연도

 Project A

Project B 

Project C 

0

-1000 

-1000 

+1000 

1 

-500 

3900 

-450 

2 

800 

-5030 

-450 

3 

1500 

2145 

-450 

4 

2000 

 

 


- Project A : 단순투자 (A0 < 0)

- Project B : 비단순투자 (A0 < 0)

- Project C : 단순차입(Simple Borrowing; A0 > 0)


▶ 내부 수익률


◇ 내부수익률(Internal ROR; IRR)의 의미

: 사업 수명동안의 현금유입 및 현금유출의 현금흐름이 주어질 때, 그 현금흐름 내부에 숨어있는 수익률


◇ 예)

컴퓨터를 $10000에 구입하여 3년간 매년 $4021의 노동력을 절감하였다면 이 투자는 매년 10%의 수익률을 얻은 것이다.

 

0 

1 

2 

3 

연초 잔액 

 

-10000 

-6979 

-3656 

투자자금에 대한 수익 

 

-1000 

-698 

-365 

받은 금액

-10000 

+4021 

+4021 

+4021 

연말 잔액 

-10000 

-6979 

-3656 

0 



재투자수익률

- 수익률 의 수학적 정의 : ∑현금유입_PW() = ∑현금유출_PW()


◇ 내부수익률(IRR)의 존재

1. 부호법칙 : 누적 순현금흐름 부호법칙

2. 투자유형

- 단순투자

- 비단순투자 : (>0)는 한 개 이상일 가능성 있음 ⇒ IRR =

① > 0 : 한 개 (⇔ IRR = )            ② > 0 : 여러 개  (⇔ IRR ≠ )

Q) 단 1개의   < 0 ⇒ IRR ≠  


연도 

현금흐름 

현재등가 

 -100%

-90% 

-50% 

-20% 

0% 

0 

-100 

-100 

-100 

-100 

-100.0 

-100 

1 

50 

∞ 

500 

100 

62.5 

50 

NPW 

 

∞ 

400

0 

-37.5 

-50 


▶ 단일 사업의 평가


◇ 기본적인 결정 법칙

IRR > MARR ⇒ 사업 채택

- 단순투자 및   (>0)가 1개인 비단순투자에 적용

  : 평가 결과는 현가법(또는 연가법)의 결과와 항상 동일

-   (>0)가 여러 개 존재하는 비단순투자에는 적용 불가능

예)

① 영역Ⅰ : 사업 채택

- 현가법 : NPW(MARR) > 0

- 내부수익률법 : IRR(=  ) > MARR

② 영역Ⅱ : 사업 포기

- 현가법 : NPW(MARR) < 0

- 내부수익률법 : IRR(=  ) < MARR


◇ 다수의 손익분기이자율 문제 해결 방법

1. 내부수익률법 포기 ⇒ 현가법(또는 연가법) 사용

2. 외부수익률(External ROR; ERR)법 사용

: 평가 결과는 현가법(또는 연가법)의 결과와 항상 동일

외부수익률

- 정의 : 사업수명(= N) 동안의 현금유입들에 대한 재투자수익률이 MARR일 때 다음 식을 만족하는 양의 (= ERR > 0)

- 특성 : 내부수익률법과 달리 사업수명 동안의 어떠한 유형의 현금흐름에 대해서도 항상 유일한 (>0) 존재

- 결정법칙 : ERR > MARR ⇒ 사업 채택

◇ 예


NPW(i) = -1000 + 2300/(1+i) + 1320/(1+i)^2 = 0

x = 1/(1+i) 라고 하면

NPW(i) = -1000 + 2300x + 1320x^2 = 0

⇒ x = 10/11,  x= 10/12

⇒  = 10%, 20%

⇒  ≠ IRR







▶ 다수 사업들의 평가


1. 독립적 사업들

- 고려 중인 사업들이 모두 누적 순현금흐름 부호법칙을 만족하면 단일 사업에서의 결정법칙으로 각 사업의 채택 여부를 결정

- 이 때의 결과는 현가법의 결과와 항상 동일

- 독립적 사업들의 경우에도 한정된 투자 재원으로 인하여 투자 우선순위를 내부수익률법으로 결정할 경우에는 반드시 다음 이슈 고려

내부수익률이 가장 높은 사업 = 경제성이 가장 높은 사업


2. 상호배제적 사업들

◇ 내부수익률법의 문제점

: 상호배제적 사업들에 대한 경제적 우위를 평가하는 기준으로 상대측도인 IRR의 크기를 사용하는 것은 공정하지 않음

◇ 증분내부수익률(Incremental IRR) 분석

: 내부수익률법의 이러한 문제점을 해결하기 위한 방법으로, 사업들을 둘씩 짝(pariwise)을 지어

  두 사업의 현금흐름들 간의 차이에 대한 내부수익률(⇒ 증분내부수익률)을 비교


현가법 vs. 내부수익률법


◇ 현가법과 내부수익률법의 평가 결과 비교

1. 투자규모가 서로 다른 경우

연도 

Project A

Project B 

Project C 

0 

-1000000 

-100000 

-100 

1 

1200000 

140000 

120 

NPW(10%) 

90909 

27273 

9.0909 

IRR 

20% 

40% 

20% 

Q) 1개의 Project A vs. 10개의 Project B vs. 10000개의 Project C


2. 사업수명이 서로 다른 경우

연도 

Project A 

Project B 

0 

-100 

-100 

1 

125 

0 

2 

- 

0 

3 

- 

0 

4 

- 

175 

NPW(10%) 

13.64 

19.53 

IRR 

25% 

15% 


3. 현금흐름의 양상이 서로 다른 경우

연도 

Project A 

Project B 

0 

-2300000 

-2300000 

1 

1000000 

0 

2 

1000000 

500000 

3 

1000000 

1000000 

4 

1000000 

3267500 

NPW(10%) 

869865 

1096283 

IRR 

26% 

23% 


◇ 평과 결과가 서로 다른 이유

: 두 평가 방법은 사업수명 동안의 현금흐름에 적용하는 재투자수익률이 서로 다름


< 재투자수익률>

* 현가법

- 사업의 현금흐름과는 무관한 시장이자율(MARR : 절대측도)

- 사업들 간의 관계와 무관하게 항상 동일한 평가 기준 제공

* 내부수익률법

- 사업의 현금흐름으로부터 계싼된 아지율(IRR : 상대측도)

- 상호배제적 관계의 사업들 간의 비교 기준으로는 부적합


◇ 내부수익률법의 단점

1. 이자율

- 현 시점에서 사업수명동안 계속 유지될 것으로 기대하는 IRR(>MARR) ⇒ 너무 낙관적

cf) 현가법 : 시간에 따라 다른 MARR를 적용한 순현가 계산이 가능

- 이자율의 기간 구조

: 내부수익률법은 IRR과 MARR 두 값의 크기를 비교하여 사업의 경제성을 평가하는데, 비교의 기준인 MARR는

시장 상황에 따라 변동하므로 평가 결과 또한 시간의 흐름에 따라 바뀔 수 있음 ⇒ 모순

2. 손익분기이자율의 개수

: 사업수명 동안의 현금흐름들의 순현가가 0인 방정식의 근이 없거나, 있더라도 여러 개 또는 허수일 수 있음

3. 가치의 가산 원칙

- 여러 사업들을 결합시킨 대안을 평가할 때 내부수익률법은 개별 사업의 독립적 평가 결과들의 합으로 결정할 수 없음

- 예

연도

Proejct 

A 

B 

C 

A+C 

B+C 

0 

-100 

-100 

-100 

-200 

-200 

1 

0 

225 

450 

450 

675 

2 

550 

0 

0 

550 

0 


Project 

NPW 

IRR 

A 

354.30 

134.5% 

B 

104.53 

125.0% 

C 

309.05 

350.0% 

A+C 

663.35 (=354.30+309.05)

212.8% (≠134.5+350.0) 

B+C

413.58 (=104.53+309.05) 

237.5% (≠125.0+350.0) 


순현가 측도에 비해 많은 단점을 갖고 있는 수익률 측도를 더 보편적으로 사용하는 이유는?

- 이 사업의 연간 수익률은 15%이다.

- 이 사업은 사업수명동안 순현가 $10000의 이익을 준다.


▶ 증분내부수익률 분석


◇ 증분내부수익률 분석의 의미
    : 짝을 이룬 두 사업의 초기 투자 금액 중 더 큰 값에서 작은 값을 뺀 만큼의 추가 투자가 이루어졌을 때,

추가 투자와 사업수명 동안의 추가 수입의 현금흐름에 대한 내부수익률(⇒ 증분내부수익률)을 구함

초기 투자가 더 많은 사업의 현금흐름에서 초기 투자가 더 적은 사업의 현금흐름을 뺸 차이에 대한 현금흐름(= 증분현금흐름)이

누적 순현금흐름 부호법칙을 만족하는, 즉 증분현금흐름에 대한 IRR이 존재하는 경우에만 증분내부수익률 분석 가능


◇ 절차

- step 0 : 필수적 관계가 아닌 사업들의 경우 IRR이 MARR보다 작은 사업은 증분내부수익률 분석에서 배제

- step 1 : 초기 투자액이 더 많은 사업(B)의 현금흐름에서 초기 투자액이 더 적은 사업(A)의 현금흐름을 뺀 차이에 대한 현금흐름(= 증분현금흐름) 계산

- step 2 : 증분현금흐름에 대한 내부수익률(IRR_b-a) 계산

- step 3 : 투자 결정

IRR_b-a > MARR ⇒ B 채택

IRR_b-a < MARR ⇒ A 채택


◇ 예1 : 2개의 사업, MARR = 10%

연도 

B1 

B2 

B2 - B1 

0 

-3000 

-12000 

-9000 

1 

1350 

4200 

2850 

2 

1800 

6225 

4425 

3 

1500 

6330 

4830 

NPW 

841.85 

1718.63 

 

IRR 

25% 

17.43% 

15%

- IRR_b2 = 17.43% > MARR

- IRR_(b2-b1) = 15% > MARR 

∴ B2 채택


◇ 예2 : 3개의 사업, MARR = 15%

연도 

D1 

D2 

D3 

0 

-2000 

-1000 

-3000 

1 

1500 

800 

1500 

2 

1000 

500 

2000 

3 

800 

500 

1000 

NPW 

586.50 

73.72 

474.15 

IRR 

34.37% 

40.76% 

24.81% 

- 비교쌍 : (D1, D2)

  IRR_(d1-d2) = 27.61% > MARR    ⇒ D1 채택

- 비교쌍 : (D1, D3)

  IRR_(d3-d1) = 8.8% < MARR    ⇒ D1 채택

∴ 최적안 : D1


◇ 예3 : 대상 사업들의 초기 투자액이 같은 경우

연도 

A 

B 

A - B 

0 

-9000 

-9000 

0 

1 

480 

5800 

-5320 

2 

3700 

3250 

450 

3 

6550 

2000 

4550 

4 

3780 

1561 

2219 

NPW(12%) 

1443 

1185 

 

IRR

18% 

20% 

14.71% 

- step 1 : A, B 두사업의 각 연도별 현금흐름에서 현금흐름의 크기가 처음으로 같지 않은 연도의 현금흐름 차액의 부호가

'-'가 되도록 증분현금흐름을 구성

⇒ 1년 말 현금흐름의 차액 = A1 - B1 = 480 - 5800

 = -5320 < 0

- step 2 : 증분내부수익률 계산 및 MARR과 비교

 IRR_(a-b) = 14.71% > MARR    ⇒ If Yes, A 채택


◇ 사업수명이 서로 다른 사업들 간의 비교 방법

- 예)

분석기간 : 4년

    

현금유출 총액(= 75) > 현금유입 총액(= 50)

⇒ (>0) 존재하지 않음(← 누적 순현금흐름 부호법칙)

⇒ 내부수익률법 적용 불가

* 현가법 : MARR = 10%

NPW(10%)a = -100 + 25(P/A, 10%, 4) + 100(P/F, 10%, 4)

     = 47.55

NPW(10%)b = -100 + 175(P/F, 10%, 4)

     = 19.53

⇒ NPW(10%)a > NPW(10%)b    ⇒ A 채택


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